【K-means聚类】数学建模

一、题目

给定10名成年男子运动员的100米、1500米、跳远、铅球、标枪成绩，设计算法对其运动水平进行高水平--低水平分类。

二、问题重述

给定十个人的五项运动成绩数值，设计算法为其运动水平进行分类为“高水平“和”低水平“。

三、解决方法

本题用到了k-means聚类的方法，基于欧式距离的聚类算法，认为两个目标的距离越近，相似度越大，然后可以将其分为若干类，在这里是分为两类，分别为代表“高水平”和“低水平”。

3.1 初始化

将数据导入，这里将数据原封不动的存入data中，并且也设置name存放名字。

data = {
    '甲': [10.92, 222.2, 5.24, 16.37, 76.94],
    '乙': [11.45, 238.3, 5.68, 12.58, 57.21],
    '丙': [10.35, 229.9, 6.30, 13.51, 47.39],
    '丁': [12.91, 268.4, 6.67, 15.21, 76.19],
    '戊': [13.03, 276.5, 4.99, 18.95, 57.54],
    '己': [11.67, 248.1, 7.03, 12.44, 44.44],
    '庚': [11.21, 236.8, 6.66, 12.21, 56.35],
    '辛': [12.90, 252.7, 5.84, 14.86, 63.80],
    '壬': [11.31, 231.1, 5.53, 13.61, 63.80],
    '癸': [10.53, 235.5, 6.02, 12.80, 50.49]
}

name = ['甲', '乙', '丙', '丁', '戊', '己', '庚', '辛', '壬', '癸']

因为100米和1500米成绩数值是越低越好，跳远、铅球和标枪是越高越好，所以为了统一，可以选择对后三项乘以-1来变为负数，这样的话五项属性都是越低越好。

    cluster = 2 #分为两簇
    dimension = 5 #五项成绩，维度为5
    total_cluster = len(data) #总共有多少个人

    for i in data:
        data[i][2] = data[i][2]   * (-1.0)
        data[i][3] = data[i][3]   * (-1.0)
        data[i][4] = data[i][4]   * (-1.0)
    #取反处理

3.2 函数介绍

这里一开始需要选择两个点作为质心，用getClusterId()函数即可随机出两个数，如果相同的话则继续随机，直到不相同为止。

def getClusterId(name):
    x,y = random.randint(0, 9), random.randint(0, 9)#随机两个数，代表找两个人作为质心
    while x==y:#如果相同，那么继续随机，直到不相同为止
        x,y = random.randint(0, 9), random.randint(0, 9)
    return name[x], name[y]

算法需要计算欧氏距离，也就是上述所言，距离越近代表相似度越大，就越可能归为一类，欧氏距离：$dis\left(x,y\right)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-y_i\right)^2}$

def getDistance(data, cur, tar):
    res = 0.0
    for i in range(len(cur)):#枚举所有的成绩
        res += (data[cur][i] - tar[i])**2#计算两个人的距离
    return res**0.5#欧几里得距离

3.3 K-means聚类算法

一开始需要随机选出两个点作为质心，来计算所有的数据到质心的距离进而进行下一步处理。

    x,y = getClusterId(name)
    cluster_center1,cluster_center2 = data[x],data[y]
    #print(cluster_center1,'\n',cluster_center2,sep='')

然后设置距离的列表，用于存放所有数据分别到所有质心的距离。

    dis = [[0.0]*cluster for v in range(total_cluster)]

这里需要引入两个列表，$cluster_type\left[i\right]$和$pre_cluster_type\left[i\right]$分别代表i的当前类型和前一个类型。之所以这么做是可以用于优化，当类型不变的时候，通过我们的算法可以得出质心是不会发生变化的，因为质心也就是当前簇的平均值。

    cluster_type = [ [0.0] for v in range(total_cluster) ]
    pre_cluster_type = cluster_type.copy()

然后我们设置最大迭代次数max_iter=1000（后面通过运行发现，实际上短短几次就可以结束迭代）。

    max_iter = 1000

然后正式开始迭代：

• 1） 计算距离。
  遍历所有的数据，对所有质心求距离，会得到一个$10\ast2$的二维数组$dis\left[i\right]\left[j\right]$代表第i个人到与第j个的距离。

        for i in range(len(data)):
            x = getDistance(data,name[i],cluster_center1)
            y = getDistance(data,name[i],cluster_center2)
            #print(x,y)
            dis[i] = [x,y]

• 2） 将数据归类。
  对于每一个人，比较其到二者的距离，取最小的放入1类；最大的则放入2类，并且统计个数，以便最后取平均值。

        numType1 = 0
        numType2 = 0 #统计个数
        #print(cluster_center1)
        #print(cluster_center2)
        for i in range(len(data)):
            if dis[i][0] < dis[i][1]:#距离较小的
                cluster_type[i] = 1#归为1类
                numType1 += 1#1类数量+1
            else:
                cluster_type[i] = 2#归为2类
                numType2 += 1#2类数量+1
        print('u=',u)
        print('pre:',pre_cluster_type)
        print('cur:',cluster_type)

• 3） 判断是否迭代结束。

if cluster_type == pre_cluster_type:#如果两次的类型一样，那么结束循环
            break
        pre_cluster_type = cluster_type.copy()#否则pre继承这一次的结果，以便下一次判断

• 4） 求和取平均，得到新的质心。
  如果迭代还在继续，则取每一簇的平均值作为新的质心，作用于下一次迭代。

sigma1 = [ 0.0 for v in range(dimension) ]
        sigma2 = [ 0.0 for v in range(dimension) ]


        for i in range(len(data)):
            for j in range(dimension):
                if cluster_type[i] == 1:
                    sigma1[j] += data[name[i]][j]#加入至对应类型的和
                else:
                    sigma2[j] += data[name[i]][j]#加入至对应类型的和

        #print('sigma1:',sigma1,'\nsigma2:',sigma2,sep='')

        for i in range(dimension):
            sigma1[i] /= numType1
            sigma2[i] /= numType2#对每一簇除以总个数即为平均数
        #sigma1和sigma2即为新的质心
        cluster_center1 = sigma1.copy()
        cluster_center2 = sigma2.copy()

四、运行结果

运行结果可以看出，这次运行随机到了四次，第四次的时候两类不变，推出迭代。
结果是$\left[2,2,2,1,1,2,2,1,2,2\right]$，也就是{甲，乙，丙，己，庚，壬，癸}和{丁，戊，辛}两类。
因为这是有一定的随机算法，所以进行多次实验。

第二次实验可以看出，迭代到了第二次发现类跟上一次不变，推出迭代，结果是$\left[1,1,1,2,2,1,1,2,1,1\right]$，与上一次答案虽然不一样，但是分出来的类也是一样的，同样是{甲，乙，丙，己，庚，壬，癸}和{丁，戊，辛}两类。
再进行10次运行可以发现，迭代次数到$u=\lbrace 1,2,3,1,5,1,2,1,1\rbrace$截至，经过多次实验，发现一般不超过5次即可迭代结束，原因是数据量太少，只有10个人；也发现有很多一次两次，原因也是因为分成的两类分别为7个和3个，这样也有数据量太少和分布有些许不均匀有关系，所以也很有可能选择质心就是我们所需要的，一次即可。

五、总结与分析

我们通过结果以及规律（常识），可以选出两类中的{甲，乙，丙，己，庚，壬，癸}为“高水平”运动员，而{丁，戊，辛}为“低水平”运动员。