最优化考试内容

期末考试题型

总分100，时间120min

简答题（名词解释），共5小题，每题6分，共30分

计算题，共5小题，每题10分，共50分

证明题，共2小题，每题10分，共20分

简答题

凸集、仿射集、凸锥
凸函数、凸函数的判定定理、与标量函数的复合、共轭函数
凸优化问题的标准形式、线性规划的标准形式、二次规划的标准形式、半定规划的标准形式
Armijo准则、次梯度的定义
拉格朗日函数、拉格朗日对偶函数、拉格朗日对偶问题、弱对偶原理、Slater条件与强对偶、KKT条件
交替方向乘子法适用的类型、算法步骤

计算题

课件中的例子
平时作业
- 2.6(1)和(2)，2.7,2.12(b)
- 2.13,4.1,4.3
- 6.2
- 5.7,5.10(求出KKT点),5.16

证明题

凸优化问题的可行域、解集都是凸集
弱对偶原理
Slater条件满足时，KKT条件是凸问题全局最优解的一阶充要条件
- Slater条件说明强对偶性成立，且最优化可以达到
- 必要性，充要性
交替方向乘子法的收敛性准则

相关内容

简答题

凸集、仿射集、凸锥

定义：

【凸集】：如果连接集合\mathcal{S}中的任意两点的线段都在\mathcal{S}内，则称\mathcal{S}为凸集，即
x_{1},x_{2}\in S\Rightarrow\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2}\in S,0\leqslant\forall\theta\leqslant1
【仿射集】：若过集合\mathcal{S}中的任意两点的直线都在\mathcal{S}内，则称\mathcal{S}为仿射集，即
x_{1},x_{2}\in S\Rightarrow\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2}\in S,\forall\theta\in\mathbb{R}.
锥：对于集合\mathcal{S}中的任意点x和任意\theta\geq 0都有\theta x\in \mathcal{S}.

锥组合：形如
x=\theta_{1}x_{1}+\cdot\cdot\cdot+\theta_{k}x_{k},\theta_{i}\geqslant0~(i=1,\cdot\cdot\cdot\cdot,k).
的点称为x_1,\cdots, x_k的锥组合.

【凸锥】：若集合\mathcal{S}中任意点的锥组合都在\mathcal{S}中，则称\mathcal{S}为凸锥.

凸函数、凸函数的判定定理、与标量函数的复合、共轭函数

【凸函数定义】：

函数f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}，若\mathrm{dom}f是凸集，且
f(\theta x+(1-\theta)y)\le\theta f(x)+(1-\theta)f(y)
对所有x,y\in\mathsf{d o m}f~,0\le\theta\le1都成立，则称f是凸函数

【凸函数的判定定理】：

f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}是凸函数，当且仅当对每个x\in\mathsf{d o m}f,v\in\mathbb{R}^{n}，函数g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}是关于t的凸函数
g(t)=f(x+t\nu),\quad\mathrm{dom}~g=\{t|x+t\nu\in\mathrm{dom}f\}

【与标量函数的复合】:

给定函数g: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}和h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}，


f(x)=h(g(x))

若

g是凸函数，h是凸函数，\tilde{h}单调不减
g是凹函数，h是凸函数，\tilde{h}单调不增

那么f是凸函数

对于n=1，g,h都可微分的情况，给出简证


f^{\prime\prime}(x)=h^{\prime\prime}(g(x))g^\prime(x)^2+h^\prime(g(x))g^{\prime\prime}(x).

要使得f^{\prime\prime}(x)\geq 0，那么需要每一项都大于等于，充分条件为：

h^{\prime\prime}(g(x))\geq 0,h^\prime(g(x))\geq 0,g^{\prime\prime}(x)\geq 0
h^{\prime\prime}(g(x))\geq 0,h^\prime(g(x))\leq 0,g^{\prime\prime}(x)\leq 0

那么则分别对应两种情况

h为凸函数，h不递减，g为凸函数
h为凸函数，h不递增，g为凹函数

g,h不可微分的时候，结论依然成立

推论：

如果g是凸函数，则\exp g(x)是凸函数
如果g是正值凸函数，则1/g(x)是凸函数

【共轭函数】

函数f的共轭函数定义为


f^{*}(y)=\operatorname*{sup}_{x\in\mathrm{dom}f}(y^\mathsf{T}x-f(x))

例子：f(x)=-\log x和f(x)=(1/2)x^{T}Q x,~Q\in\mathbb{S}_{++}^{n}

凸优化问题的标准形式、线性规划的标准形式、二次规划的标准形式、半定规划的标准形式

【凸优化问题的标准形式】

标准形式的凸优化问题


\begin{align}
\min _{x \in D} \quad & f(x) \\
\text { s.t. } \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i=1, \ldots, m \\
& A x=b
\end{align}

目标函数f、不等式约束条件g_i都是凸函数，必须是Ax=b
定义域D=\text{dom }f\cap (\cap_{i=1}^m\text{dom }g_i)通常省略
可行域为X=D\cap\{x\mid g_i(x)\leq 0,i=1,2,\cdots,m,Ax=b\}

注意：凸优化问题的可行域为凸集

【线性规划的标准形式】

标准形式的线性规划问题


\begin{align}{}
\operatorname*{min}_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & c^\mathsf{T}x \\
\text { s.t. } \quad &Ax=b, \quad i=1, \ldots, m \\
& x\geq 0.
\end{align}

【二次规划的标准形式】

二次规划的标准形式


\begin{align}{}
\operatorname*{min}_{x} \quad & \frac{1}{2}x^\mathsf{T}Px+q^\mathsf{T}x \\
\text { s.t. } \quad & x\geq 0,\\\quad &Ax=b.
\end{align}

P\in \mathcal{S}^n_+（半正定）

【半定规划的标准形式】

半定规划的标准形式


\begin{align}{}
\operatorname*{min}_{x} \quad & \langle C, X\rangle, \\
\text { s.t. } \quad & \langle A_1,X\rangle=b_1,\\
&\cdots\\
\quad &\langle A_m,X\rangle=b_m,\\
&X\succeq0.
\end{align}

Armijo准则、次梯度的定义

【Armijo准则】

设d^k是点x^k处的下降方向，若
f(x^{k}+\alpha d^{k})\le f(x^{k})+c_{1}\alpha\nabla f(x^{k})^{\mathrm{T}}d^{k},
则称步长\alpha满足\mathbf{Armijo}准则，其中c_1\in (0,1)是一个常数.

\phi(\alpha)=f(x^{k}+\alpha d^{k})可知\phi(0)=f(x^k),\phi^{\prime}(\alpha)=\nabla f(x^{k}+\alpha d^{k})^{T}d^{k}，在\alpha=0处的一阶近似为\phi(\alpha){\approx}f(x^{k})+\alpha\nabla f(x^{k})^{T}d^{k}

引入Armijo准则的目的是保证每一步迭代充分下降
Armijo准则有直观的几何含义，它指的是点(\alpha,\phi(\alpha))必须要在直线


l(\alpha)=\phi(0)+c_{1}\alpha\nabla f(x^{k})^{\mathrm{T}}d^{k}

的下方，上图中区间[0,\alpha_1]中的点均满足Armijo准则

参数c_1通常选一个很小的正数，例如c_1=10^{-3}

【次梯度的定义】

可微凸函数f的一阶条件：
f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^\mathsf{T}(y-x),
即凸函数f的线性近似总是在其下方.

设f为凸函数，x\in \mathrm{dom} f. 若向量g\in\mathbb{R}^n满足
f(y)\geq f(x)+g^\mathsf{T}(y-x),\quad \forall y\in \mathrm{dom} f,
则称g为函数f在点x处的一个次梯度.

f(x)+g^{\mathrm{T}}(y-x)是f(y)的一个全局下界
凸函数f(x)的次梯度总是存在（x是定义域的内点）
如果f是可微凸函数，那么\nabla f(x)是f在点x处的唯一次梯度
例：g_2,g_3是点x_2的次梯度，g_1是点x_1处的次梯度

拉格朗日函数、拉格朗日对偶函数、拉格朗日对偶问题、弱对偶原理、Slater条件与强对偶、KKT条件

【拉格朗日函数】

一般的约束优化问题（没有要求是凸问题）


\begin{align*}
\min_{x\in\mathbb{R}}\quad &f_0(x)\\
\text{s.t.}\quad &f_i(x)\leq,i = 1,\cdots,m,\\
& h_j(x)=0,j=1,\cdots ,q.
\end{align*}

最优值是p^*，可行域是所有约束条件的交集\mathcal{X}

拉格朗日函数定义L:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}_{+}^{m}\times\mathbb{R}^{q}~\to~\mathbb{R}
L(x,\lambda,\nu)=f_{0}(x)+\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}f_{i}(x)+\sum_{j=1}^{q}\nu_{j}h_{j}(x)
\lambda_i为第i个不等式约束的乘子

\nu_j为第j个等式约束的乘子

【拉格朗日对偶函数】

拉格朗日对偶函数g:\mathbb{R}_{+}^{m}\times\mathbb{R}^{q}~\to~[-\infty,+\infty)
\begin{align*}
g(\lambda,v)&=\inf_{x\in\mathbb{R}^n} L(x,\lambda,v)\\
&=\inf_{x\in\mathbb{R}^n} (f_{0}(x)+\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}f_{i}(x)+\sum_{j=1}^{q}\nu_{j}h_{j}(x))
\end{align*}

PS：inf是下界的意思

对偶函数g(\lambda, \nu)是L(x,\lambda,\nu)对任意x的下界

【弱对偶原理】

若\lambda \geq 0则g(\lambda, \nu)\leq p^*.

弱对偶原理描述了原问题和对偶问题间关系。如果\lambda\geq 0那么g(\lambda,\nu)最优值d^*永远小于等于最优值p^*

原因是因为对偶函数对于x没有限制，而拉格朗日函数对x有约束。

那么既然可行域都不一样，研究还有什么意义吗？其实对偶函数的解是拉格朗日函数解的下界，可以通过研究对偶值d^*来判断原始问题解的质量。在KKT条件下（强对偶条件），d^*=p^*。

【拉格朗日对偶问题】

拉格朗日对偶问题：


\operatorname*{max}_{\lambda\ge0,\nu}~g(\lambda,\nu)=\operatorname*{max}_{\lambda\ge0,\nu}\operatorname*{inf}_{x\in\mathbb{R}^{n}}~L(x,\lambda,\nu)

称\lambda和\nu为对偶变量，对于最优值设为d^*
d^*为p^*的最优下界，称p^*-d^*为对偶间隙
无论原问题是否为凸，拉格朗日对偶问题总是凸优化问题
\mathsf{d o m}~g=\{(\lambda,\nu)\mid\lambda\ge0,g(\lambda,\nu)>-\infty\}，其中元素称为对偶可行性解

【Slater条件与强对偶】

Slater约束品性定义：

对凸优化问题
\operatorname*{min}_{x\in\mathcal{D}}~~f_{0}(x),\quad\mathrm{s.t.}~~f_{i}(x)\leqslant0,~i=1,2,\cdots,m,\quad A x=b,
若存在x\in\mathrm{relint}~\mathcal{D}满足
f_{i}(x)<0,\quad i=1,2,\cdots,m,\quad A x=b,
则称对此问题Slater约束品性满足. 该约束品性也称为Slater条件

\mathcal{D}是可行域，\mathrm{relint}表示相对内部，需要存在一个严格满足所有不等式约束的点，并且满足等式约束。
核心要求：Slater条件要求在凸优化问题中，至少存在一个“严格可行点”（strictly feasible point），它位于不等式约束的内部。
如果不等式约束是仿射函数时候，可以放宽，前k个不等式若仿射则可以等于

举例（满足Slater条件）：


\begin{aligned}{}{\underset{x}{\operatorname*{min}}}\quad &{{}x_{1}^{2}+x_{2}^{2},}\\ {\mathrm{s.t.}}\quad &{{}x_{1}+x_{2}\le1,}\\ &{x_{1}-x_{2}\le1.}\end{aligned}

不等式约束形成了一个多边形区域，我们可以找到一个点x=(0,0)满足不等式约束，所以Slater条件成立，满足强对偶性。（内部非空）

几何意义：如果所有可行点都“刚好”位于约束边界例如f_i(x)=0，那么拉格朗日函数下界可能过于松弛。

通过这种几何自由度，可以证明拉格朗日乘子\lambda, \nu存在，并且优化问题的原始最优值 p^*与对偶最优值 d^*是相等的。

【强对偶性】

定理：

若凸优化问题满足Slater条件，则强对偶性成立.

Slater条件：

凸问题.
可行域内存在x使得非仿射不等式约束严格成立.

【KKT条件】

定理（凸优化问题的一阶充要条件）

考虑凸优化问题，且f_0和f_i可微，\nabla f_0,\nabla f_i表示梯度. 若强对偶性成立，则x^*和\lambda^*,\nu^*分别是原始和对偶问题的全局最优解当且仅当KKT条件成立，KKT条件为

稳定性条件 \quad 0=\nabla f_{0}\left(x^{*}\right)+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}^{*} \nabla f_{i}\left(x^{*}\right)+A^{T} \nu^{*} ，

原始可行性条件 f_{i}\left(x^{*}\right) \leq 0, i=1, \cdots, m ; \quad A x^{*}=b ，

对偶可行性条件 \quad \lambda_{i}^{*} \geq 0, i=1, \cdots, m,

互补松驰条件 \quad \lambda_{i}^{*} f_{i}\left(x^{*}\right)=0, i=1, \cdots, m .

我的作业

最优化理论与方法作业 1

练习2.6:

计算下列矩阵变量函数的导数

(a) f(X) = a^\mathsf{T}Xb，这里 X \in \mathbb{R}^{m \times n}, a \in \mathbb{R}^m, b \in \mathbb{R}^n 为给定的向量。
解答:
通过定义求解，对于任意方向V\in\mathbb{R}^{m\times n}，可以求解：


   \begin{align*}
       \lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{f(X+tV)-f(X)}{t}&=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{a^\mathsf{T}(x+tV)b-a^\mathsf{T}xb}{t}\\
       &=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{ta^\mathsf{T}Vb}{t}\\
       &=a^\mathsf{T}Vb\\
       &=\mathrm{Tr}(a^\mathsf{T}Vb)\\
       &=\mathrm{Tr}(ba^\mathsf{T}V)\\
       &=\langle (ba^\mathsf{T})^\mathsf{T},V\rangle\\
       &=\langle ab^\mathsf{T},V\rangle
   \end{align*}

所以f(X) = a^\mathsf{T}Xb的导数是\nabla f(X)=ab^\mathsf{T}

(b) f(X) = \mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AX)，其中 X \in \mathbb{R}^{m \times n} 是长方形矩阵，A 是方阵（但不一定对称）。
解答:
通过定义求解，对于任意方向V\in\mathbb{R}^{m\times n}，可以求解：


   \begin{align*}
       \lim_{t\rightarrow 0}=\dfrac{f(X+tV)-f(X)}{t}&=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{Tr}((X+tV)^\mathsf{T}A(X+tV))-\mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AX)}{t}\\
       &=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AX)+t\mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AV)+t\mathrm{Tr}(V^\mathsf{T}AX)+t^2\mathrm{Tr}(V^\mathsf{T}AV)-\mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AX)}{t}\\
       &=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{t(\mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AV)+\mathrm{Tr}(V^\mathsf{T}AX))+t^2\mathrm{Tr}(V^\mathsf{T}AV)}{t}\\
       &=\mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AV)+\mathrm{Tr}(V^\mathsf{T}AX)\\
       &=\langle A^\mathsf{T}X,V\rangle+\langle V,AX\rangle\\
       &=\langle A^\mathsf{T}X+AX,V\rangle
   \end{align*}

所以f(X) = \mathrm{Tr}(X^\mathsf{T}AX)的导数是\nabla f(X)=A^\mathsf{T}X+AX

练习2.7

考虑二次不等式


   x^\mathsf{T}Ax+b^\mathsf{T}x+c\leq 0

其中A为n阶对称矩阵，设C为上述不等式的解集.

(a) 证明：当 A 正定时，C 为凸集。
解答:
对于二次不等式x^\mathsf{T}Ax+b^\mathsf{T}x+c\leq 0进行分析，因为矩阵A对称正定，所以x^\mathsf{T}Ax> 0恒成立，所以该二次型是关于x的凸函数。并且b^\mathsf{T}x+c是线性函数，即x^\mathsf{T}Ax+b^\mathsf{T}x+c\leq 0也是个凸函数，该问题是一个凸优化问题。
要证明C为凸集，则可以利用凸函数的下水平集是凸集的性质，因此集合C是凸函数f(x)对应的下水平集：


   C=\{x\in\mathbb{R}^{n}|f(x)\leq 0\}

因此C是凸集，证毕。
也可以通过定义证明，要想证明C是凸集，对于集合C，对于任意的x_1,x_2\in C且\theta\in [0,1]，都有


   x=\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C

则C为凸集。
现在对于任意的x_1,x_2\in C且\theta\in [0,1]，有


   \begin{align*}
       f(x_1)&=x_1^\mathsf{T}Ax_1+b^\mathsf{T}x_1+c\leq 0\\
       f(x_2)&=x_2^\mathsf{T}Ax_2+b^\mathsf{T}x_2+c\leq 0\\
       x&=\theta x_1+(1-\theta)x_2
   \end{align*}

代入f(x)中有：


   \begin{align*}
   f(x)&=f(\theta x_1+(1-\theta)x_2)\\
   &=(\theta x_1+(1-\theta)x_2)^\mathsf{T}A(\theta x_1+(1-\theta)x_2)+b^\mathsf{T}(\theta x_1+(1-\theta)x_2)+c\\
   &=\theta^2x_1^\mathsf{T}Ax_1+(1-\theta)^2x_2^\mathsf{T}Ax_2+\theta x_1^\mathsf{T}(1-\theta)x_2+(1-\theta)x_2^\mathsf{T}A\theta x_1+\theta b^\mathsf{T}x_1+(1-\theta)b^\mathsf{T}x_2+c
   \end{align*}

利用凸函数的性质，若证明C为凸集，即证明x\in C，则需要满足


   f(\theta x_1+(1-\theta)x_2)\leq \theta f(x_1)+(1-\theta)f(x_2)\leq 0

我们先计算该线性组合：


   \begin{align*}
       \theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2) &= \theta \left( x_1^\mathsf{T}Ax_1 + b^\mathsf{T}x_1 + c \right) + (1-\theta) \left( x_2^\mathsf{T}Ax_2 + b^\mathsf{T}x_2 + c \right) \\
   &= \theta x_1^\mathsf{T}Ax_1 + \theta b^\mathsf{T}x_1 + \theta c + (1-\theta)x_2^\mathsf{T}Ax_2 + (1-\theta)b^\mathsf{T}x_2 + (1-\theta)c \\
   &= \theta x_1^\mathsf{T}Ax_1 + (1-\theta)x_2^\mathsf{T}Ax_2 + \theta b^\mathsf{T}x_1 + (1-\theta)b^\mathsf{T}x_2 + c
   \end{align*}

我们将二者做差，可以得到：


   \begin{align*}
       \theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2) - f(\theta x_1 + (1-\theta)x_2) &= \theta \left( x_1^\mathsf{T}Ax_1 + b^\mathsf{T}x_1 + c \right) + (1-\theta)\left( x_2^\mathsf{T}Ax_2 + b^\mathsf{T}x_2 + c \right) \\
       &\quad - \left( \theta^2 x_1^\mathsf{T}Ax_1 + 2\theta(1-\theta)x_1^\mathsf{T}Ax_2 + (1-\theta)^2 x_2^\mathsf{T}Ax_2 \right. \\
       &\quad \left. + \theta b^\mathsf{T}x_1 + (1-\theta)b^\mathsf{T}x_2 + c \right) \\
       &= \theta x_1^\mathsf{T}Ax_1 + (1-\theta)x_2^\mathsf{T}Ax_2 + \theta b^\mathsf{T}x_1 + (1-\theta)b^\mathsf{T}x_2 + c \\
       &\quad - \theta^2 x_1^\mathsf{T}Ax_1 - 2\theta(1-\theta)x_1^\mathsf{T}Ax_2 - (1-\theta)^2 x_2^\mathsf{T}Ax_2 \\
       &= \theta(1-\theta)x_1^\mathsf{T}Ax_1 + (1-\theta)\theta x_2^\mathsf{T}Ax_2 - 2\theta(1-\theta)x_1^\mathsf{T}Ax_2 \\
       &= \theta(1-\theta) \left( x_1^\mathsf{T}Ax_1 + x_2^\mathsf{T}Ax_2 - 2x_1^\mathsf{T}Ax_2 \right) \\
       &= \theta(1-\theta) (x_1 - x_2)^\mathsf{T}A(x_1 - x_2)
   \end{align*}

因为A是对称正定的，所以\forall x都满足x^\mathsf{T}Ax >0，那么(x_1-x_2)^\mathsf{T}A(x_1-x_2)>0，因为\theta\in [0,1]，所以\theta (1-\theta)\geq 0，所以等式左边恒大于，即


   \begin{align*}
       &\theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2) - f(\theta x_1 + (1-\theta)x_2) \geq 0\\
       &f(\theta x_1 + (1-\theta)x_2) \leq \theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2)\leq 0
   \end{align*}

所以x=\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C，C是一个凸集，证毕。

(b) 设 C^\prime 是 C 和超平面 g^\mathsf{T} x + h = 0 的交集（g \neq 0），若存在 \lambda \in \mathbb{R}，使得 A + \lambda g g^\mathsf{T} 半正定，证明：C^\prime 为凸集。
解答:
首先通过第一问我们可以得到当A是正定的时候，x^\mathsf{T}Ax+b^\mathsf{T}x+c\leq 0的解集是一个凸集，如果是半正定同理也可以。\
现在有g^\mathsf{T}+h=0的约束条件，C^\prime是C和g^\mathsf{T}x+h=0的交集，若要证明C^\prime是凸集，则需要在f(x)基础上加上约束条件并证明其是凸函数。\
考虑到f(x)中有二次型x^\mathsf{T}Ax，我们可以增加(g^\mathsf{T}x+h)^2=0的约束条件，并且引入\lambda，可以构造：


   \begin{align*}
   g(x)&=x^\mathsf{T}Ax+b^\mathsf{T}x+c+\lambda(g^\mathsf{T}x+h)^2\\
   &=x^\mathsf{T}Ax+b^\mathsf{T}x+c+\lambda(g^\mathsf{T}x)^2+2\lambda hg^\mathsf{T}x+\lambda h^2\\
   &=x^T(A+\lambda gg^\mathsf{T})x+(b^\mathsf{T}+2\lambda hg^\mathsf{T})x+\lambda h^2+c
   \end{align*}

现在对g(x)进行分析，其中二次型为x^T(A+\lambda gg^\mathsf{T})x，因为A+\lambda gg^\mathsf{T}是半正定的，所以该二次型是凸函数。而线性部分为(b^\mathsf{T}+2\lambda hg^\mathsf{T})x+\lambda h^2+c也是线性函数，所以g(x)是凸函数。\
因为g(x)是一个凸函数，所以其的解集是凸集。因为该函数是由f(x)和约束条件构成的，所以C^\prime就是该解集，即C^\prime就是凸集，证毕。

练习2.12

求下列函数的共轭函数

(b) 矩阵对数：f(x) = -\ln \det(X)
解答:
对于函数 f(X) = -\ln \det(X)，其共轭函数是f^*(X)\sup_{x\in\text{dom }f}(\mathrm{Tr}(Y^\mathsf{T}X)-f(X))，我们令函数\


    g(X)=\mathrm{Tr}(Y^\mathsf{T}X)-f(X)=\mathrm{Tr}(Y^\mathsf{T}X)+\ln\det(X)

对其求导，使用行列式求导公式\dfrac{\partial\det (X)}{\partial X}=\det(X)(X^{-1})^\mathsf{T}，并另其等于可以得到


\begin{align*}
    g^\prime(X)&=Y+\dfrac{1}{\det(X)}\cdot\dfrac{\partial\det(X)}{\partial (X)}\\
    &= Y+\dfrac{1}{\det(X)}\cdot\det(X)(X^{-1})^\mathsf{T}\\
    &=Y+(X^{-1})^\mathsf{T} =0
\end{align*}

这样就可以得到


X^*=-(Y^{-1})^\mathsf{T}

那么对于共轭函数f^*(Y)=g(X)=\mathrm{Tr}(Y^\mathsf{T}X)+\ln\det(X)则有


\begin{align*}
f^*(Y)&=\mathrm{Tr}(Y^\mathsf{T}(-(Y^{-1})^\mathsf{T}))+\ln\det(-(Y^{-1})^\mathsf{T})\\
&=\mathrm{Tr}(-Y^\mathsf{T}\cdot(Y^\mathsf{T})^{-1})+\ln\det(-Y^{-1})\\
&=\mathrm{Tr}(-I)-\ln\det(-Y)\\
&=-n-\ln\det(-Y)
\end{align*}

所以，f(X) = -\ln \det(X)共轭函数为-n-\ln\det(-Y)，并且需要满足Y\prec 0.