Diffusing Winding Gradients (DWG): A Parallel and Scalable Method for 3D Reconstruction from Unoriented Point Clouds

项目主页🔗：https://dwgtech.github.io/

这篇论文是伟舟师兄发的第二篇CCF-A，发表于TOG2025,也是做法向一致和表面重建的，不对论文进行过多阐述，只详细介绍方法过程。想要看前一篇BIM请见：🔗【法向一致】Consistent Point Orientation for Manifold Surfaces via Boundary Integration

一、前置知识

🔗：卷绕数与广义卷绕数（Winding Number & GWN）

🔗：https://carrynotkarry.com/research/cg/marching-cube/

二、方法

首先回顾广义绕卷数的公式：

w(\mathbf{q})
\;=\;
\frac{1}{4\pi}\,\oint_{S}\mathrm{d}\Omega
\;=\;
\oint_{S}
\frac{\langle \mathbf{x}-\mathbf{q},\,\mathbf{n}_x\rangle}
{4\pi\,\|\mathbf{x}-\mathbf{q}\|^3}\,\mathrm{d}x

公式里面一共有若干个参数，为

• 查询点q【未知】。也就是我要求解q点的卷绕数是多少
• 点云的点x【已知】。积分的单元
• 点法线n_x【已知】。

❓为什么能说点法线n_x已知？我们不是在求解法向一致吗？

这是因为该方法是一个迭代的过程，就像梯度下降法等都会有一个初始的值。特别地，这里我们用n(t)表示第t次迭代的法线n。

下面全文重点来了，整个方法我们一共只有五个步骤：

1️⃣初始化点云

将(N,3)的点云初始化一个随机法线，将(N,6)传入迭代方法中。这就解决了公式里面\mathbf{x}和\mathbf{n_x}

2️⃣计算GWN

通过已知的\mathbf{x}和\mathbf{n_x}得到当前的广义绕卷数GWN，注意这是一个标量场，也就是这个空间内所有的点的GWN都需要求，用体素分成所有的点（类似于切豆腐）。

这样我们得到了一个场的GWN值

3️⃣提取等值面

我们通过GWN值获得一个等值面，注意这里是一个值，即

c=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nw(p_i)

即求出流形表面S贡献出来的等值面c。为什么取平均可以认为是等值面呢？

我们可以以二维举例，直观上感受我们应该像求最小二乘法一样得到“等值线”，如图所示：

这样肯定做，但是这是一个非线性问题，“等值线”可以是曲线，同样的道理等值面也是如此，那么我们直接取平均来作为等值面

（注意是对流形表面求平均，而不是整个场）

4️⃣更新法向量

既然得到了等值面，我们最终的迭代目标就是如论文公式（4）所示，最终的GWN梯度来近似最终的法向量，即

\mathbf{n_p}(\infty)\approx \nabla w(\mathbf{p},\mathbf{n}(\infty)),\ \forall \mathbf{p}\in\mathcal{S}\tag{4}

那么迭代就是用这一次的GWN梯度代替下一次迭代的法向量，即

\mathbf{n_p}(t+1):= \nabla w(\mathbf{p},\mathbf{n}(t)),\ \forall \mathbf{p}\in\mathcal{S}

那么现在的问题就是：如何求得梯度？

现在已知GWN场（体素），求梯度论文使用的是用三角面片的法线来代替梯度

⚠️注意：这里使用的是三角面片的法线，Marching Cube会生成大量的三角面片，但是我们需要的是原始点云上的法线，也就是\mathbf{n_x}，那么如何将现在这根红色的法线得到我点云上的法线呢？

投影。没错，就是投影，使用数据结构通过KNN求解得到最近K个点（代码中K=10），然后做投影对其进行贡献，然后对每个点取平均。

如果图示，黑色⚫的是点云，蓝色🔵是等值面，红色🔴是mesh上的法线（GWN梯度），绿色🟢是最近的K（K=3）个点。

通过这样投影之后，我们取平均便得到了点云上的点法线（用梯度代替的），达到了【更新法向量】的步骤

5️⃣迭代

循环2️⃣3️⃣4️⃣步骤进行迭代，得到n(\infty)，最后平均法向不再变化（精度）结束，或者达到最大迭代次数，默认为40次

三、优化

从上面可以看到用了一些数据结构，例如KD-Tree。这里还是用到了八叉树来优化积分。

重新回到公式：

w(\mathbf{q})
\;=\;
\frac{1}{4\pi}\,\oint_{S}\mathrm{d}\Omega
\;=\;
\oint_{S}
\frac{\langle \mathbf{x}-\mathbf{q},\,\mathbf{n}_x\rangle}
{4\pi\,\|\mathbf{x}-\mathbf{q}\|^3}\,\mathrm{d}x

我们假设体素一共分成了m个点，点云一共n个点，对于每一个体素单元都需要使用上面的公式，那么一共需要使用O(m)次，而公式可以看出是对点云上所有的点进行积分，所以每次又需要O(n)次，一共时间复杂度是O(nm)次。

从我的实验中可以看到一个10000个点的点云，最后的点能到400000,那么体素数量m其实远远大于点云上点的个数n。但是这里可以优化一下积分。

我们使用八叉树（类似于线段树，对空间进行划分），当前八叉树单元中心点r离其中最远点云上点x_i定义为d，如果查询点q举例这个中心点r的距离L大于2.3d，那么就不再往下继续查找，直接使用这个单元中心里面的值。

四、其他

会遇到多个等值面的时候，需要调整λ，论文中有些，λ为超参数